TERCER PERIODO

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SUCESIONES EN R

Una sucesión de números reales es una función de N en R, en la cual se asigna a cada número natural n un número real S_n:

S: N --> R

= {(n, S_n) /n ℮ N}

= {(1, S₁), (2, S₂) …}

El valor funcional S_n es llamado término n-ésimo de la sucesión.

El rango de la sucesión es el subconjunto de números reales para los cuales existe un elemento asociado del dominio N.

Si en una sucesión se repiten elementos, esto quiere decir simplemente que se trata de una sucesión que no es inyectiva, es decir, cuando existen elementos en el rango que no tienen un único elemento relacionado en el dominio.

Clasificación de las Sucesiones.

Las sucesiones se pueden clasificar en recurrentes, en monótonas crecientes o decrecientes, en acotadas superiormente o inferiormente:

• Una sucesión recurrente es aquella que puede definirse conociendo los primeros términos y una regla que permita calcular los demás a partir de los ya conocidos. A la regla se le conoce con el nombre de la fórmula de recurrencia.

Por ejemplo, si a₁ = 1, a₂ = 3; a_n+2 = a_n + a_{n +1}, para n ³ 1, entonces, remplazando n = 1 en la fórmula, obtenemos el término a₃:

a₃ = a₁ + a₂ = 1 + 3 = 4. De la misma forma si n = 2, a₄ = a₂ + a₃ = 3 + 4 = 7.

Repitiendo este proceso sucesivamente podemos hallar los demás términos de la sucesión.

• Una sucesión es monótona creciente si cada término de la sucesión es mayor o igual que el término anterior. En símbolos, si
• Una sucesión es monótona decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el término anterior. En símbolos, siUna sucesión es acotada superiormente si existe algún real K tal que cada término de la sucesión es menor o igual al real K. En símbolos, si
• La sucesión de la ilustración N°2 sería acotada superiormente por 1, ya que todos los términos serían menores o iguales que 1. K sería la cota inferior de a_n y esto en símbolos, se expresaría:
• Una sucesión es acotada inferiormente si existe algún real M tal que cada término de la sucesión es mayor o igual al real M. En símbolos, si